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German articles carry three genders and four cases. It looks like 16 cells; it is really one table you learn once and reuse for every adjective, pronoun and determiner in the language.

Definite — the

case	masculine	feminine	neuter	plural
Nominative (subject)	der Mann	die Frau	das Kind	die Kinder
Accusative (direct object)	den Mann	die Frau	das Kind	die Kinder
Dative (indirect object, after certain prepositions)	dem Mann	der Frau	dem Kind	den Kindern
Genitive (possession)	des Mannes	der Frau	des Kindes	der Kinder

Things to notice:

Only the masculine changes between nominative and accusative (der → den). Feminine, neuter and plural stay put. That one swap is most of the daily work.
Dative plural adds -n to the noun too: den Kindern.
Genitive masc./neut. adds -(e)s to the noun: des Mannes.

Indefinite — a

case	masculine	feminine	neuter
Nom.	ein Mann	eine Frau	ein Kind
Acc.	einen Mann	eine Frau	ein Kind
Dat.	einem Mann	einer Frau	einem Kind
Gen.	eines Mannes	einer Frau	eines Kindes

No plural — like English "a". kein (no/not a) and the possessives (mein, dein, sein, ihr, unser, euer) take exactly these endings, plus a plural in -e / -e / -en / -er: keine Kinder, meine Kinder.

Contractions


in + dem → im	an + dem → am
zu + dem → zum	zu + der → zur
von + dem → vom	bei + dem → beim
in + das → ins	an + das → ans

Which case? The prepositions decide

Always accusative: durch, für, gegen, ohne, um — "dogfu".
Always dative: aus, bei, mit, nach, seit, von, zu.
Two-way (accusative for movement to, dative for position at): in, an, auf, über, unter, vor, hinter, neben, zwischen. Ich gehe in den Park (acc., going into) vs Ich bin im Park (dat., being in).

Guessing gender

Nouns ending -ung, -heit, -keit, -schaft, -ion, -e are almost always die. -chen, -lein, -um, -ment → das. -er (people/tools), -ling, days, months, seasons → der. Everything else: learn the article with the noun, always.

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